Resolución de Problemas. Un problema para todos

A veces nos empeñamos en pensar que un problema difícil lo es por tener números elevados. De hecho, es frecuente que encontremos un “problema” de suma en 2.º de primaria idéntico a un “problema” de suma en 6.º de primaria. Idéntico en razonamiento, solo cambia que en uno están trabajando con el 436 y el 147 y en el otro con el 43,6 y 1,47.

Entrecomillo “problemas” por dos motivos:

1. Decir que es un problema algo así, es mucho decir: “En la biblioteca de mi barrio tienen 436 cuentos de monstruos y 147 cuentos de hadas, ¿cuántos cuentos de monstruos y hadas hay en total?” Lamento deciros que esto no es un problema. Esto es una suma en contexto. Si cambias los datos por 3649 y 4792 habríamos subido el “problema” un curso. Pero, ¿has subido el razonamiento? ¡No! Porque eso no es un problema.
2. Un problema debería garantizar varias cosas. Una de ellas es que la comprensión lectora no debería ser una barrera a la hora de razonar. Se trata de resolver (razonando) una situación. ¡Si no sé leer no prives a mi cerebro de razonar! ¡Que lo que no sé es leer pero sé establecer relaciones y conectar! Y eso es, justamente, razonar.

Un problema para todos

Hoy vamos a jugar con piezas de construcción. Para el objetivo que se pretende conseguir con esta situación es importante que las piezas de construcción cumplan dos requisitos:

1. Que todas sean del mismo tamaño.
2. Utilizaremos 3 colores, por ejemplo, rojo, azul y amarillo.

Las piezas de construcción suelen venir en grandes cajas que combinan piezas de diferentes tamaños y formas, así que habría que seleccionar las que nos interesan en este caso. La cosa que es que los policubos son un material muy asequible, muy atractivo y muy fácilmente manipulable. Así que, si no tenéis policubos en clase o en casa, ya estáis tardando 😊.

Bueno, le vamos a dar la vuelta a la tortilla. ¿Por qué partir de un enunciado? Me voy a basar en algo que decía Goutard en 1967 en su libro Las matemáticas y los niños (Bego, por si me lees, te presté este libro antes de verano, no me olvido 😉):

 “Los problemas deberían partir de su realidad, de su manipulación y de su juego y es de la propia manipulación de los materiales de dónde surgen los verdaderos razonamientos”.

Para el problema de hoy diremos algo así: Hoy estas piezas van a representar “ahorros”. Vamos a jugar con tres colores. En función del nivel pasarán unas cosas u otras. Las piezas de color rojo serán los ahorros de Pepe, las de color azul son los ahorros de Pipi y las de color amarillo son los ahorros de Popo.

Para los más pequeños

Aquí la dificultad mayor será saber qué es eso de “ahorros”. Si no os gusta este palabro podéis utilizar otro contexto como “fruta” o “juguetes” o lo que sea. Da igual

¿Quién tiene más? ¿Cómo lo sabes?

Comenzarán a jugar y manipular y será absolutamente inevitable que ocurran dos cositas. Son cositas que el cerebro no puede evitar. El cerebro es así de caprichoso, mire usted. Se empeña en buscar patrones todo el rato, de manera absolutamente obsesiva.

Hasta tú, sí, tú  que no te consideras obsesivo cortas la pizza de una determinada manera. ¡O es que acaso haces algo así en la pizza! (si quieres fastidiar a alguien muy cuadriculado haz esto un día y ya verás… Por supuesto, cómete tú lo cortado, que es lo más rico)

Volvamos, que pienso en pizza y se me olvida lo demás.

Decíamos que va a ser inevitable que los niños agrupen por colores, buscando “lo común”. También es frecuente que los apilen por colores (es lo que tiene darles policubos). Es tan atractivo enganchar unos con otros que lo van a hacer. Total, que cuando lo hacen ya estás en disposición de preguntar cosas así:

• ¿Me enseñáis los ahorros de Pepe? ¿Y los de Pipi? ¿Y los de Popo?
• ¿Qué podéis decir de sus ahorros? A los más pequeños les cuesta establecer relaciones habladas al principio, por eso es bueno que mires cómo hablan sus manos y verás que dicen muchas cosas.

Secuencia de preguntas adecuadas para niños entre 2.º infantil y 2.º de primaria

• ¿Quién tiene más? ¿Quién tiene menos? ¿Cómo lo sabes? Aquí puede que cuenten, que señalen, que comparen sus torres o sus grupos…
• Entonces, ¿El que tiene más es Pepe? Mirad, Pipi y Popo han juntado sus ahorros. ¿Podéis hacerlo con vuestras piezas? ¿Pensáis que si Pipi y Popo juntan sus piezas podrán tener más que Pepe? ¿Nooo? ¿Y por qué lo sabes? Y entonces, en función del nivel dirán cosas como:
• Porque las torres son igual de grandes (de altas).
• Porque ahora Pipi y Popo juntos tienen tanto como Pepe.
• Porque Pepe tiene 3 y entre Pipi y Popo también.
• “Porque las dos llegan hasta ahí”
• …

Ah, ok. Me ha quedado claro. Entonces, decíamos que el que más tiene es Pepe. Que el que menos tiene es Popo y que Pipi tiene menos que Pepe pero más que Popo.

Hay una pregunta “maldita” en los primeros “problemas” que hacen en 1.º y 2.º de primaria. Es el famoso “más que” y “menos que”. Es maldito porque el niño lee “más que” y dice “sumar, porque pone más”. Es maldito porque el niño lee “menos que” y dice “restar, porque pone menos”.

Si resuelven con sus manos y ponen gestos a la resolución todo cambia. El dedito señala al hueco que indica que Pipi tiene menos que Pepe. Y ese dedito se interpreta de dos formas: “Pepe tiene más que Pipi porque mira (mientras señala el hueco o toca la pieza de más)”. “Pipi tiene menos que Pepe porque mira (mientras señala el hueco o toca la pieza de más)”.

• Ahora pregunta: ¿Quién tiene más Pepe o Pipi? Responde señalando. Dilo tú: Pepe tiene más que Pipi. ¿Cuántas más? Una más. Dilo entero. Pepe tiene 1 más que Pipi.
• Ahora empieza la frase por Pipi: Pipi tiene una menos que Pepe. ¿Cuántas más tiene Pepe que Pipi? ¡Ahora comprenden!

Pequeño inciso

¿Y si dejamos da asociar palabras a operaciones? ¿Sabéis la cantidad de niños que van a la última palabra de un problema buscando la palabra “total”? Ven total y dicen: “seguro que es sumar” y entonces buscan los números y los suman. ¿Sabéis la cantidad de niños que rebuscan en el enunciado la palabra “repartir”? ¡Repartir es dividir así que busco los numerillos y a dividir se ha dicho!

En mi clase hay 24 alumnos. Hoy, por su buen comportamiento, les voy a repartir 2 caramelos a cada uno. ¿Cuántos caramelos he repartido?

Y llegan muchos y dicen: “Repartir es dividir. Hay un 24 y un 2, así que 24 : 2… ¡Qué fácil, es 12!” Y resulta que acabamos de repartir 12 caramelos a los 24 alumnos así que los pobrecillos en vez de 2 cada uno se llevan medio cada uno (mejor eso que nada pensarán algunos).

En serio, no asociemos palabras a operaciones. No digamos a los niños cosas como:

• “Cuánto falta, cuánto queda, cuánto sobra, mas que y menos que, es siempre restar”
• “Repartir es dividir”
• “Total es sumar o multiplicar”
• …

Subimos un poquito de nivel. Entre segundo y tercero de primaria.

Me voy a final de segundo, cuando empiezan a trabajar el concepto de doble y triple.

Diríamos algo así:

• ¿Cuáles son los ahorros de Popo? La torre amarilla.
• ¿Y los de Pipi? La torre azul.
• Vamos a hablar de los ahorros utilizando eso del doble y el triple:
• ¿Quién tiene el triple de ahorros que Popo? Pepe ¿cómo lo sabes?
• ¿Quién tiene el doble de ahorros que Popo? Pipi, ¿cómo lo sabes?
• Miremos los ahorros de Pipi y Pepe, ¿tiene Pepe el doble de ahorros que Pipi? ¿No? ¿Por qué? ¿Y cómo tendría que ser la torre de Pepe para tener el doble de ahorros que Pipi? (de cuatro cubitos). Pero, si tuviera 4 cubitos, ¿tendría Pepe el triple de cubitos que Popo? ¿No? ¿Y cómo tendría que ser? De 2 cubitos. Pero entonces, ¿seguiría teniendo Pipi el doble de piezas que Popo? ¿Se podría arreglar? ¿Afectaría eso a la torre de Pepe? ¿Habría que hacer algo con ella?

De esto se trata, de ir tomando constantemente decisiones en función de la situación y de la variación de la misma para que la premisa sea cierta. Se trata de analizar todos los factores todo el rato y para eso nada mejor que la pregunta. La pregunta que desencadena aprendizaje, la que te hace ponerte manos a la obra. ¡La importancia de la pregunta adecuada!

Subimos de nivel. 3.º y 4.º de primaria

Fijaos que sencillo es pasar de lo que saben a lo que sabrán. Imaginad que estamos en el punto en el que están aprendiendo a comprender y dominar el concepto de fracción.

Venían de saber cosas como

• Pepe tiene el triple de ahorros que Popo.
• Pipi tiene el doble de ahorros que Popo.
• ¿Y si te digo que en la siguiente relación tienes que comenzar hablando de Popo?
• Popo tiene la mitad de ahorros que Pipi.
• Popo tiene un tercio de los ahorros de Pepe.
• ¿Y qué dices entre Pipi y Pepe?
• Pipi tiene 2 tercios de lo que tiene Pepe.

Vamos a meter un numerillo

Pepe tiene 9 euros así que, Popo tiene 3 euros porque un tercio de 9 es 3.

Pipi tiene 2 tercios de lo que tiene Pepe. También decíamos que Pipi tenía el doble que Popo así que Pipi tiene 6 euros. Si lo miro como fracción diremos que Pipi tiene 2 tercios de lo que tiene Pepe. Si sé que 1 tercio es 3 pues sé que dos tercios es 6.

Esto son relaciones razonadas desde la manipulación y la observación.

Vamos a complicarlo un poquito más. Subimos a 5.º y 6.º

Pepe, Pipi y Popo han decidido juntar sus ahorros. ¿Cómo lo representas con tu material?

• Han juntado sus ahorros para comprarse un video juego. ¿Quién ha puesto más? ¿Quién ha puesto menos? Después de comprar el videojuego les ha sobrado la mitad de los ahorros. ¿Es justo si se reparten a partes iguales lo que ha sobrado? ¿Cuál debería ser el reparto?
• Gastaron las 2 terceras de lo que sobró en otro videojuego. Si en ese videojuego gastaron 40 euros, ¿cuántos ahorros tenían entre los 3?
• ¿Cuánto dinero tenía en origen Pepe?

Y un poquito más. Entre 6.º EP y 1.ºESO

Tres amigos han reunido ahorros, cada uno lo que ha podido. Popo ha ahorrado la tercera parte de lo que ha ahorrado Pepe. Pipi ha ahorrado el doble que Popo. Sin contar lo que ha ahorrado Pipi, han reunido 64 euros en total. ¿Cuánto ahorró Pipi?

Los problemas se tocan. Los problemas deben partir primero del establecimiento de relaciones. Debemos sacar de las relaciones todas las conclusiones posibles. Eso es razonar desde la conexión. Luego ponle los números que quieras (si quieres) pero que el cálculo no sea la actividad principal en el ejercicio de resolución de problemas.

En los últimos años la moda del cálculo es abismal. ALERTA: Es cálculo (por muy abierto que sea el algoritmo). ¡Es cálculo!

Pon en la balanza: ¿Dónde pongo el peso? ¿En el cálculo o en los problemas? ¿En serio equilibrarías la balanza? ¿Consideras igual de importante una cosa que la otra?

El cálculo desarrolla cálculo. La resolución de problemas desarrolla seres humanos capaces de tomar decisiones. Tú eliges.

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Profe Bernabeu.